Hogyan lehet egyszerűsíteni a matematikai kifejezéseket

Tartalom

• szakaszában
• 1. módszer Vegye figyelembe a műveletek sorrendjét
• 2. módszer Egyszerűsítse a bonyolultabb kifejezéseket

A hallgatókat gyakran arra kérik, hogy redukálják a matematikai kifejezéseket "a legegyszerűbb formájukra", vagyis hogy minél egyszerűbbé tegyék azokat. Bármi legyen is durva vagy egyszerűsített, a kifejezés ugyanaz marad, másodszor egyszerűen elegánsabb és mindenekelőtt könnyebben kezelhető. A gyakorlatot néha akkor tekintik "befejezettnek", ha a kifejezést a legegyszerűbb kifejezésre redukálják. Ezért fontos tudni, hogyan lehet csökkenteni a matematikai kifejezést. Valójában ez szinte állandó működés. De olvasd tovább!

szakaszában

1. módszer Vegye figyelembe a műveletek sorrendjét

1. 
   

   
   Ismerje meg a műveletek sorrendjét. Ha egyszerűsíteni akarjuk a matematikai kifejezést, akkor nem működik idiotikusan balról jobbra, az ön bemutatása szerint. Egyes műveletek elsőbbséget élveznek másokkal szemben, és ezeket először kell elvégezni. Ha nem követi ezt a sorrendet, akkor nem kapja meg a megfelelő eredményt. A műveletek sorrendje: zárójel, kitevő, szorzás, osztás, összeadás és végül kivonás. Ez egy rendkívüli módszer ennek a sorrendnek a megtartására: gondoljon a "PEMDAS" -ra: "Mert azt mondja: Ma: Várj Simone!" (szabadon találhat jobbat!)
   • Örülök, hogy ismeri ezt a sorrendet, és sok kifejezésnél is hasznos, de néha összetettebb technikákra van szükség az egyszerűsítéshez, beleértve a polinómokat is. További információkért lásd a 2. módszert.

2. 
   

   
   
   
   Kezdje azzal, hogy mi zárójelben található. A matematikában ezek arra utalnak, hogy tartalmuk elsőbbséget élvez más elemekkel szemben. Ez a prioritás érvényes a belüli műveletektől függetlenül. Másrészt, de logikus, a zárójelben a műveletek sorrendjét alkalmazza. Így először meg kell szoroznunk, majd össze kell tennünk és így tovább.
   • Például a következő kifejezést fogjuk használni: 2x + 4 (5 + 2) + 3 - (3 + 4/2). Először mindent ki kell számolnia a zárójelben. 5 + 2 és 3 + 4/2, ami megadja nekünk 5 + 2 = 7 és 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
     • A zárójelben szereplő második kifejezés 5-et ad, mert először, ha követjük a műveletek sorrendjét, osztjuk a 4-t 2-del. Ha a kifejezést úgy vesszük, mint a sorrendben van, akkor 3 + 4-et állítunk elő, és 2-vel osztjuk, azaz mondani, hogy 7/2-t kapunk: aranyat, ez helytelen!
   • Nota bene : ha van zárójelek a zárójelben, akkor mindig a belső oldallal kezdjük és a külső oldalán végződik.

3. 
   

   
   
   
   Akkor menjünk a kiállítókhoz. Most, hogy a zárójelekkel foglalkoztunk, meg kell támadnunk az exponenseket (ha vannak ilyenek!) Egy exponenssel rendelkező számot könnyen észlelhetünk: van egy szám (alap) és a jobb felső sarokban, kisebb betűkkel írva , az exponens, egy szám is. A számításokat elvégezze külön, majd cserélje ki az értéket az exponenssel a kiszámított értékére.
   • Most, hogy a zárójeleket kezeltük, kifejezésünk most: 2x + 4 (7) + 3 - 5. Az egyetlen kifejezés az exponenssel itt: 3, ami megegyezik 9. Cseréljük ki a kifejezést, és megkapjuk: 2x + 4 (7) + 9 - 5.

4. 
   

   
   Itt a szorzások fordulója! Most minden szorzási műveletet végre kell hajtani. A szorzás jele különféle formában jelenik meg: × szimbólum, egy pont, egy csillag vagy akár semmi sem! így 4 (y) szorzás, egyenlő 4 x y-val
   • A gyakorlatunkban két szorzás van: 2x (2x = 2 × x) és 4 (7). Mivel nem tudjuk x értékét, a kifejezést így hagyjuk, mivel ez 4 (7) = 4 × 7 = 28. Az egyenlet ekkor: 2x + 28 + 9 - 5.

5. 
   

   
   Folytassuk a részleget. Mint a szorzás jele, a megosztás jele is különféle formában jelenik meg: a szimbólum ÷, de a perjel is (/ vagy "perjel", mint a 3/4, például - és a vízszintes törtvonal.
   • Példánkban nincs felosztás (kivéve a fent látott 4/2-t), ezért ezt a lépést kihagyjuk. Ez a megfigyelés megjegyzést igényel: annyiban alkalmazzuk a PEMDAS alapelvet, ameddig a művelet létezik az Ön kifejezésében, különben a következő műveletre megyünk.

6. 
   

   
   Ezután töltse fel. A következő lépés mindent összeadni. Természetesen hozzáadhatunk balról jobbra is, de néha csoportosíthatunk. Például, a 49 + 29 + 51 + 71 kifejezéssel jobb, ha a 49 + 51 = 100 és a 29 + 71 = 100 kifejezést kapjuk: 100 + 100 = 200 helyett 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 és 129 + 71 = 200.
   • A PEMD műveletek eredményeként kifejezésünk a következőképpen néz ki: "2x + 28 + 9 - 5". Most hozzá kell adnunk, hogy mi legyen - vegye figyelembe azokat a kiegészítéseket, amelyek balról jobbra jönnek. Nem adhat hozzá 2x és 28, mert van egy változó (x nem adható hozzá, amíg nem ismeri annak numerikus értékét). Ami a 28 + 9-et illeti, ez megadja 37. Ha újraírjuk a kifejezést, akkor a következők vannak: "2x + 37 - 5".

7. 
   

   
   Kivonni. A PEMDAS utolsó lépése a kivonás. Csak kivonásokat kell hagynia (de ez nem kötelező). Ezt a lépést korábban meg lehetett volna tenni, ha úgy gondoljuk, hogy kivonáskor negatív számot kell hozzáadni. Ez az utolsó két művelet (összeadás és kivonás) felcserélhető.
   • A PEMDA-nak köszönhetően kifejezésünk így néz ki: "2x + 37 - 5". Most kivonjuk, amit tudunk. Kivonhatunk 5-t 32-ből, amely 32 - 5 = 32.

8. 
   

   
   Ellenőrizze kifejezését utoljára. Általában ezen a ponton az Ön kifejezése maximálisra csökken. Az ismeretlen (x) egyenletek adott esetben redukált kifejezéssel bírnak, de nem teljesen. Az akkor lesz, amikor x-hez numerikus értéket rendelnek. Lehetséges azonban az egyenlet egyszerűsítése ismeretlennel (lásd alább).
   • Az összes PEMDAS-ot figyelembe vették, a végső válasz: "2x + 32". Nem egyszerűsíthető tovább, mert a 32 és a 2x nem adható hozzá a 2x változó jelenléte miatt. Ha megtudjuk x értékét, befejezhetjük a számításokat. Felismerje, hogy ez még mindig praktikusabb, mint az eredeti kifejezés! kifejezés.

2. módszer Egyszerűsítse a bonyolultabb kifejezéseket

1. 
   

   
   Adja hozzá az azonos ismeretleneket. Ha ismeretlen a kifejezésedben, akkor tudd, hogy azonos ismeretlen anyagokat összeadhat vagy kivonhat ugyanazon exponenssel (vagy "azonos kifejezésekkel"): pontosan működik a normál számokkal. Ismételjük meg: az ismeretlennek azonosnak kell lennie, és az exponenssel is! Például 7x és 5x hozzáadhat, de 7x és 5x nem.
   • Ez a szabály vonatkozik azokra a kifejezésekre is, amelyek több ismeretlent tartalmaznak. Például a 2-oxid hozzáadható a -3-csoporthoz, de a -3-csoporthoz és a -3-hoz nem.
   • Vessen egy pillantást az x + 3x + 6 - 8x kifejezésre. Itt hozzáadhatunk 3x és -8x-okat, mert azonos teljesítményük van. Egyszerűsítve a kifejezés így alakul: x - 5x + 6.

2. 
   

   
   Egyszerűsítse a frakciót a közös tényezők elosztásával vagy "törlésével". Azok a frakciók, amelyek csak numerikus értékeket tartalmaznak (ismeretlen hiányzik), mind a számláló, mind a nevező, különféle módon egyszerűsíthetők. Az első (talán a legegyszerűbb) módszer: a számlálót közvetlenül a nevezővel osztja el. Sőt, ha a frakció tetején és alján van valamelyik termék, és az egyik kifejezés mindkét oldalon megjelenik, akkor „egyszerűsítheti”, mert törli (megosztásuk egyenlő 1-gyel). Összefoglalva tehát, ha mindkét kifejezés létezik a frakció sáv felett és alatt, akkor mindkettőt törölheti.
   • Vegyük például a 36/60 törtet. Ha rendelkezik számológéppel, akkor közvetlenül végezzen elosztást, az eredmény: 0,6. Ha még nem rendelkezik, törölheti a közös tényezőket. Ehhez bontja a két számot tényezőkre és ellenőrizze, vannak-e közös tényezők. 36/60 = (6 × 6) / (6 × 10), vagy ha inkább: 6/6 × 6/10. Mivel a 6/6 egyenlő 1-gyel, a kifejezés 1 × 6/10 = 6/10 lesz. Nem egészen kész, mivel a 6 és a 10 osztható kettővel, így lesz 3/5vagy 0,6.

3. 
   

   
   Az ismeretlen frakciók esetében ugyanaz. Nézze meg, hogy nincsenek-e olyan kifejezések (ismeretlennel), amelyek közösek a frakció mindkét részén. Az ismeretlent egyszerűsíthetjük együtthatóval és kitevőjével.
   • Vegyük a (3x + 3x) / (- 3x + 15x) kifejezést, amelyet a következőképpen lehet írni: (x + 1) (3x) / (3x) (5 - x), 3x megjelenik mind a számlálóban, mind a nevezőben, így felülről és alul eltávolíthatjuk. Ezután megkapjuk: (x + 1) / (5 - x). Hasonlóképpen, a (2x + 4x + 6) / 2 kifejezésben minden kifejezés osztható 2-vel. (2 (x + 2x + 3)) / 2, és tovább: x + 2x + 3.
   • Figyelem! ez az egyszerűsítés csak akkor működik, ha valamelyikének tényezői vannak felül, és alul is. Például az (x (x + 2)) / x kifejezésben egyszerűsíthetjük "x" -nel, amely megadja: (x + 2) / 1 = (x + 2). Másrészt, az (x + 2) / x-rel nem tehetünk semmit, mert tetején van egy összeg, és nem egy termék. Ebben a formában nem egyszerűsíthető: 2/1 = 2.

4. 
   

   
   Fejlesztés vagy tényező? Bizonyos esetekben, amikor egyszerűsíteni akarunk, oly furcsa, mint amilyennek hangzik, jobb, ha fejlesztünk, mint faktorizálunk. Nincs rögzített szabály. Csak a szokás alapján látjuk, hogy mit kell tenni, a cél mindig a kifejezés egyszerűsítése.
   • Például a 3 (x + 8) kifejezés kibővítve a következőt adja: 3x + 24, míg 3x + 24x figyelembe lehet venni, és így lesz: 3x (x + 8).
   • Egyes esetekben jobb, ha a tényezőt állandó értéken tartják a zárójelben szereplő kifejezés előtt. Valójában ez eltűnt. Hiábavaló túl korán fejleszteni, az egyszerűsítés mindig lehetséges. Például a (3 (x + 8)) / 3x törtben a 3 jelen van a számlálóban és a nevezőben, így elnyomhatjuk azt, amely a következőt adja meg: (x + 8) / x. Még mindig könnyebben kezelhető, mint a (3x + 24x) / 3x, eredményt kaptunk volna, ha mindent kidolgoztunk volna.

5. 
   

   
   Egyszerűsítse faktoring segítségével. A faktorálás olyan technika, amely egyszerűsíti a frakciót a polinomok néha eltávolításával. A faktoring a fejlődés ellentéte. A hosszú kifejezés, általában egy összeg, rövidebb kifejezéské alakul, amely a tényezők szorzata. Ezt a faktorizálást csak akkor szabad megtenni, ha mögötte egyszerûsödik (mint egy részben). Egyes esetekben (leggyakrabban a második fokú egyenletekkel) a faktoring lehetővé teszi az egyenlet gyökereinek gyorsabb és könnyebb megtalálását.
   • Vegyük ismét az x - 5x + 6 kifejezést, amely kiszámítható (x - 3) (x - 2) -ba. Tehát, ha később az x - 5x + 6 egy frakció számlálójában található, és ha (x - 2) lenne a nevezőben, akkor egyszerűsíthetjük ezt a kifejezést. Példa: egyszerűsíteni kell (x - 5x + 6) / (2 (x - 2)). Először a számlálót vesszük figyelembe, majd egyszerűsítjük. Más szavakkal, végül a (x - 3) (x - 2) / (2 (x - 2)) szóval végződünk, egyszerűsítjük a (x - 2) ponttal, és így kapjuk meg: (x - 3) / 2.
   • Mint fentebb megjegyeztük, a faktoringnak néha más okai is vannak.Valójában ez a manipuláció egyszerűsíti, de lehetővé teszi egy egyenlet könnyebb megoldását is, különösen akkor, ha ez utóbbi egyenlő 0. Például vegye figyelembe az x - 5x + 6 = 0 egyenletet. x - 3) (x - 2) = 0. Ennek az egyenletnek a megoldásához elegendő, ha az egyik kifejezés egyenlő 0-val, mivel 0-szor x = 0. Ezért 3 és 2 a megoldások.