Hogyan lehet megoldani a logaritmikus egyenleteket?

Tartalom

• szakaszában
• Előzetes: tudja, hogyan lehet átalakítani egy logaritmikus egyenletet egyenlővé a hatalommal
• 1. módszer Keresse meg x
• 2. módszer Keresse meg x a logaritmus szorzószabály használatával
• 3. módszer Keresse meg x t a logaritmus hányados szabályával

A logaritmikus egyenletek első pillantásra nem a legkönnyebb a matematikában megoldani, de exponenciális egyenletekké alakíthatók (exponenciális jelölések). Tehát, ha sikerül végrehajtania ezt az átalakítást, és ha a hatalommal elsajátítja a számítást, akkor könnyen meg kell oldania az ilyen típusú egyenleteket. Megjegyzés: a "log" kifejezést időről időre használják a "logaritmus" helyett, ezek felcserélhetők.

szakaszában

Előzetes: tudja, hogyan lehet átalakítani egy logaritmikus egyenletet egyenlővé a hatalommal

1. 
   

   
   Kezdjük a logaritmus meghatározásával. Ha logaritmusokat szeretne kiszámítani, akkor vegye figyelembe, hogy ezek nem más, mint a hatalom kifejezésének speciális módjai. Kezdjük a logaritmus egyik klasszikus feltételével:
   • y = log_b (X)
     • csak akkor, ha: b = x
   • b a logaritmus alapja. Két feltételnek teljesülnie kell:
     • b> 0 (b szigorúan pozitívnak kell lennie)
     • b nem lehet egyenlő: 1
   • Exponenciális jelölésben (a fenti második egyenlet fent), ott a hatalom és x az úgynevezett exponenciális kifejezés, amelynek az értéke valójában a naplót keresi.

2. 
   

   
   
   
   Figyelembe kell venni az egyenletet. A logaritmikus egyenlettel szemben meg kell határoznunk az alapot (b), az erőt (y) és az exponenciális kifejezést (x).
   • példa : 5 = log₄(1024)
     • b = 4
     • y = 5
     • x = 1024

3. 
   

   
   Helyezze az exponenciális kifejezést az egyenlet egyik oldalára. Tegye például az Ön értékét x a "=" jel bal oldalán.
   • példa : 1024 = ?

4. 
   

   
   Emelje fel az alapot a megadott teljesítményre. Az adatbázishoz hozzárendelt érték (b) meg kell szoroznia magát annyiszor, amennyire a teljesítmény azt jelzi (ott).
   • példa : 4 x 4 x 4 x 4 x 4 =?
     • Röviden: ez adja: 4

5. 
   

   
   
   
   Írja meg válaszát. Most már újraírhatja a logaritmát exponenciális jelöléssel. A számítás újraemelésével győződjön meg arról, hogy az egyenlőség helyes-e.
   • példa : 4 = 1024

1. módszer Keresse meg x

1. 
   

   
   Válassza ki a logaritmát. A cél valójában az, hogy a naplót első alkalommal szüntessék meg. Ehhez az összes nem-logaritmikus tagot átadjuk az egyenlet másik oldalán. Ne felejtse el visszafordítani a működési jeleket!
   • példa : napló₃(x + 5) + 6 = 10
     • log₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
     • log₃(x + 5) = 4

2. 
   

   
   Írja le az egyenletet exponenciális formában. Az "x" megtalálásához a logaritmikus jelöléstől az exponenciális jelölésig kell mennie, az utóbbi könnyebben megoldható.
   • példa : napló₃(x + 5) = 4
     • Az elméleti egyenlettel kezdve y = log_b (X)], alkalmazza a példánkra: y = 4; b = 3; x = x + 5
     • Írja be az egyenletet: b = x
     • Itt kapjuk: 3 = x + 5

3. 
   

   
   talál x. Most az első fokú egyenlettel kell szembenéznie, amelyet könnyen meg lehet oldani. Lehet második vagy harmadik fok.
   • példa : 3 = x + 5
     • (3) (3) (3) (3) = x + 5
     • 81 = x + 5
     • 81 - 5 = x + 5 - 5
     • 76 = x

4. 
   

   
   Írja be a végleges választ. Az "x" értékre kapott válasz a logaritmikus egyenletre adott válasz: napló₃(x + 5) = 4.
   • példa : x = 76

2. módszer Keresse meg x a logaritmus szorzószabály használatával

1. 
   

   
   Ismernie kell a naplók termékére (szorzásra) vonatkozó szabályt. A rönkök első tulajdonsága szerint, amely a rönk (ugyanazon alapanyag feladója!) Termékére vonatkozik, a termék naplója megegyezik a termék elemek naplóinak összegével. ábra:
   • log_b(m x n) = log_b(m) + log_b(N)
   • Két feltételnek teljesülnie kell:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Válassza le a naplókat az egyenlet egyik oldalán. A cél valójában az, hogy elején levágják a rönköket. Ehhez az összes nem-logaritmikus tagot átadjuk az egyenlet másik oldalán. Ne felejtse el visszafordítani a működési jeleket!
   • példa : napló₄(x + 6) = 2 - napló₄(X)
     • log₄(x + 6) + log₄(x) = 2 - log₄(x) + log₄(X)
     • log₄(x + 6) + log₄(x) = 2

3. 
   

   
   Alkalmazza a naplók termékére vonatkozó szabályt. Itt ellentétes irányban alkalmazzuk, nevezetesen, hogy a naplók összege megegyezik a termék naplójával. Mit ad nekünk:
   • példa : napló₄(x + 6) + log₄(x) = 2
     • log₄ = 2
     • log₄(x + 6x) = 2

4. 
   

   
   Írja át az egyenletet hatalommal. Emlékezzünk arra, hogy a logaritmikus egyenlet átalakítható exponensek egyenletévé. Mint korábban, az exponenciális jelöléshez fogunk lépni, hogy segítsünk a probléma megoldásában.
   • példa : napló₄(x + 6x) = 2
     • Az elméleti egyenlettel kezdve alkalmazzuk példánkban: y = 2; b = 4; x = x + 6x
     • Írja be az egyenletet: b = x
     • 4 = x + 6x

5. 
   

   
   talál x. Most egy második fokú egyenlettel kell szembenéznie, amelyet könnyen meg lehet oldani.
   • példa : 4 = x + 6x
     • (4) (4) = x + 6x
     • 16 = x + 6x
     • 16-16 = x + 6x - 16
     • 0 = x + 6x - 16
     • 0 = (x - 2) (x + 8)
     • x = 2; x = -8

6. 
   

   
   Írja meg válaszát. Gyakran két válaszunk van (gyökerek). A kiindulási egyenletben ellenőrizni kell, hogy ez a két érték megfelelő-e. Valójában nem tudjuk kiszámítani a negatív szám naplóját! Írja be az egyetlen érvényes választ.
   • példa : x = 2
   • Soha nem fogjuk emlékezni rá: a negatív szám naplója nem létezik, tehát itt elutasíthatja - 8 megoldásként. Ha -8-ot válaszolunk, akkor az alap egyenletben lenne: log₄(-8 + 6) = 2 - log₄(-8), azaz napló₄(-2) = 2 - log₄(-8). Nem lehet kiszámítani a negatív érték naplóját!

3. módszer Keresse meg x t a logaritmus hányados szabályával

1. 
   

   
   Tudnia kell a naplók megosztására vonatkozó szabályt. A naplók második tulajdonsága szerint, amely a naplók megosztására vonatkozik (ugyanazon alapszemély!), Az hányados naplója megegyezik a számláló és a nevező naplójának különbségével. ábra:
   • log_b(m / n) = log_b(m) - napló_b(N)
   • Két feltételnek teljesülnie kell:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Válassza le a naplókat az egyenlet egyik oldalán. A cél valójában az, hogy elején levágják a rönköket. Ehhez az összes nem-logaritmikus tagot átadjuk az egyenlet másik oldalán. Ne felejtse el visszafordítani a működési jeleket!
   • példa : napló₃(x + 6) = 2 + log₃(x - 2)
     • log₃(x + 6) - napló₃(x - 2) = 2 + log₃(x - 2) - napló₃(x - 2)
     • log₃(x + 6) - napló₃(x - 2) = 2

3. 
   

   
   Alkalmazza a napló hányados szabályát. Itt az ellenkező irányba alkalmazzuk, nevezetesen, hogy a naplók különbsége megegyezik a hányados naplójával. Mit ad nekünk:
   • példa : napló₃(x + 6) - napló₃(x - 2) = 2
     • log₃ = 2

4. 
   

   
   Írja át az egyenletet hatalommal. Emlékezzünk arra, hogy a logaritmikus egyenlet átalakítható exponensek egyenletévé. Mint korábban, az exponenciális jelöléshez fogunk lépni, hogy segítsünk a probléma megoldásában.
   • példa : napló₃ = 2
     • Az elméleti egyenlettel kezdve alkalmazzuk példánkban: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
     • Írja be az egyenletet: b = x
     • 3 = (x + 6) / (x - 2)

5. 
   

   
   talál x. Most, hogy nincs több napló, hanem a hatalom, könnyen megtalálható x.
   • példa : 3 = (x + 6) / (x - 2)
     • (3) (3) = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 (x - 2) = (x - 2) & mdash; mindkét oldalt megszorozzuk (x - 2)
     • 9x - 18 = x + 6
     • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
     • 8x = 24
     • 8x / 8 = 24/8
     • x = 3

6. 
   

   
   Írja be a végleges választ. Vegye vissza a számításait, és ellenőrizze. Ha biztos benne a válaszában, írja le véglegesen.
   • példa : x = 3